{"id":8878,"date":"2024-02-11T22:10:01","date_gmt":"2024-02-11T21:10:01","guid":{"rendered":"https:\/\/klima-fakten.net\/?p=8878"},"modified":"2024-05-20T10:50:41","modified_gmt":"2024-05-20T09:50:41","slug":"der-adiabatische-temperaturgradient-vereinfachte-herleitung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/klima-fakten.net\/?p=8878","title":{"rendered":"Der adiabatische Temperaturgradient – vereinfachte Herleitung"},"content":{"rendered":"
\"image_print\"<\/a><\/div>\n\n\n

Die atmosph\u00e4rische Temperatur variiert mit der H\u00f6he. Dieses wohlbekannte und gut verstandene Ph\u00e4nomen wird als Adiabatischer Temperaturgradient<\/strong><\/u><\/a> bezeichnet. Dieser beschreibt den Temperaturgradienten in der H\u00f6he und besagt im Wesentlichen, dass die Temperatur pro km H\u00f6he um 4-9,8 Grad Celsius abnimmt. Der Grund f\u00fcr die Er\u00f6rterung dieses Ph\u00e4nomens ist, dass der vertikale Temperaturgradient <\/strong>oft f\u00e4lschlicherweise einem strahlungsbedingten „Treibhauseffekt“ zugeschrieben wird, obwohl er in Wirklichkeit die nat\u00fcrliche thermodynamische Folge eines Gasvolumens in einem Gravitationsfeld ist<\/strong>. Da es sich um einen adiabatischen Effekt<\/u><\/a> handelt, ist keine \u00c4nderung des Gesamtenergiegehalts beteiligt.
Es gibt viele M\u00f6glichkeiten, dieses Ph\u00e4nomen zu erkl\u00e4ren. Hier m\u00f6chte ich es auf die elementarste Weise tun.<\/p>\n\n\n\n

Die erste wichtige Annahme ist das lokale <\/strong>thermodynamische Gleichgewicht<\/strong><\/u><\/a>. Das bedeutet, dass es in einem bestimmten Luftvolumen keine makroskopischen Zustands\u00e4nderungen z. B. <\/strong>bei Temperatur oder Druck gibt. Nehmen wir ein Luftvolumen an, das gro\u00df genug ist, damit die Temperatur definiert werden kann, und das klein genug ist, damit die Temperatur in diesem Volumen konstant ist, typischerweise „Gaspaket“ genannt.
Dieses Volumen mit der Masse \"m\" befindet sich im planetarischen Gravitationsfeld mit der Gravitationskonstante \"g\". In der H\u00f6he h hat es die potentielle Energie

  <\/span>   <\/span>\"\[E_p = m\cdot g\cdot h.\]\"<\/p> und die thermische Energie dieses Volumens mit der W\u00e4rmekapazit\u00e4t (bei konstantem Druck) \"c_p\" und der Temperatur \"T\" gegen\u00fcber der Referenztemperatur \"T_0\" ist

  <\/span>   <\/span>\"\[E_t = c_p\cdot m\cdot (T - T_0)\]\"<\/p> Die zweite Annahme ist, dass das <\/strong>System adiabatisch ist<\/strong><\/u><\/a>, d.h. es flie\u00dft keine Energie in das System hinein oder aus ihm heraus<\/strong>. Das bedeutet, dass die Summe \"E\" von \"E_p\" und \"E_t\" konstant ist:

  <\/span>   <\/span>\"\[E = E_p + E_t = const.\]\"<\/p> Die Gesamtableitung von E muss also 0 sein:

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{\partial E}{\partial h}dh + \frac{\partial E}{\partial T} dT = 0\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[m\cdot g \cdot dh + c_p\cdot m\cdot dT = 0\]\"<\/p> Daraus folgt direkt der Temperaturgradient:

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{dT}{dh} = - \frac{g}{c_p}\]\"<\/p> Was bedeutet das? Ausgehend von der Annahme der lokalen Energieerhaltung verliert ein Molek\u00fcl, das sich nach oben bewegt, Bewegungsenergie im Austausch gegen potentielle Energie, muss also um den entsprechenden Energiebetrag k\u00fchler werden<\/strong>, d.h. das Anheben einer Masse im Gravitationsfeld muss von der Bewegungsenergie bezahlt werden, und eine fallende Masse wird beschleunigt, wodurch die Temperatur steigt. Das Gleichgewicht ist erreicht, wenn die Entropie des Systems maximal ist.
Mit \"g=9,81 \frac{m}{s^2}\" und \"c_p = 1,012 \frac{J}{g\cdot °K}\" betr\u00e4gt der adiabatische Temperaturgradient f\u00fcr trockene Luft

  <\/span>   <\/span>\"\[\Gamma = -\frac{9,81}{1,012} \frac{°K}{km} = -9.8 \frac{°K}{km}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Wenn die Luft feucht ist, kondensiert der Wasserdampf je nach Druck und Temperatur zu fl\u00fcssigem Wasser, wobei die latente W\u00e4rme von 2260 J\/g freigesetzt wird. Diese zus\u00e4tzliche Kondensationsenergie verringert den Temperaturgradienten, da der „Preis“ f\u00fcr die potenzielle Energie (teilweise) aus der Kondensationsenergie bezahlt werden kann, ohne dass die Temperatur sinkt. Der resultierende feuchtadiabatische Temperaturgradient<\/u><\/a> liegt im Bereich von -4…-9,8 \u00b0K\/km, abh\u00e4ngig von der Luftfeuchtigkeit. Im globalen Durchschnitt betr\u00e4gt der Temperaturgradient -6,4 \u00b0K\/km.

Was hat der Temperaturgradient mit dem Klima oder dem Treibhauseffekt zu tun? Tats\u00e4chlich erkl\u00e4rt der Temperaturgradient einen Gro\u00dfteil, wenn nicht sogar den gesamten globalen Temperaturunterschied zwischen der Erdoberfl\u00e4che und dem oberen Teil der Troposph\u00e4re<\/strong>, ohne dass explizite Annahmen \u00fcber einen „Antrieb“ oder Treibhausgase gemacht werden (Treibhausgase sind jedoch f\u00fcr die Wechselwirkung mit der Infrarotstrahlung relevant<\/u><\/a>). Der durch den Temperaturgradient beschriebene Zustand ist ein Gleichgewichtszustand der Atmosph\u00e4re ohne Energiefluss<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Adiabatischer Temperaturegradient in der Troposph\u00e4re<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Wenn die Atmosph\u00e4re von diesem Zustand abweicht, zwingt die Thermodynamik das System stark in diese Richtung, so wie ein in einem Beh\u00e4lter verteiltes Gas zum Zustand gleicher Dichte tendiert. Die adiabatische Barometergleichung<\/u><\/a> beschreibt den gro\u00dfr\u00e4umigen Gleichgewichtszustand und stellt eine starke Korrelation zwischen dem Temperaturgef\u00e4lle und dem Druckgef\u00e4lle her. Daher wird manchmal der Begriff verwendet, dass „Druck die Temperatur verursacht“. Im Zusammenhang mit adiabatischen Bedingungen in einem Gravitationsfeld ist dies zwar nicht falsch, aber die Formulierung ist irref\u00fchrend, so dass manche Leute f\u00e4lschlicherweise glauben, dass statischer Druck W\u00e4rme erzeugen w\u00fcrde. Daher ziehe ich es vor, zur Beschreibung des Ph\u00e4nomens auf Grundprinzipien wie Energieerhaltung und Entropiemaximierung<\/u><\/a> zu verweisen.<\/p>\n\n\n\n

Das Konzept des adiabatischen Temperaturgradienten ist in der Atmosph\u00e4renforschung sehr m\u00e4chtig: Im Jahr 1967 wurde die Oberfl\u00e4chentemperatur der Venus durch Auswertung des Temperaturgradienten korrekt bestimmt<\/u><\/a> – ein expliziter Hinweis auf Treibhausgase war nicht erforderlich, obwohl implizit klar ist, dass die Infrarotstrahlung in den Weltraum von den Treibhausgasen aus der N\u00e4he des Randes der Atmosph\u00e4re stammt. Unabh\u00e4ngig davon, wo das eintreffende Sonnenlicht absorbiert wird, verteilt sich die entstehende W\u00e4rme via Konvektion und Strahlung entsprechend des Temperaturgradienten.
Dies wurde k\u00fcrzlich mit einer verbesserten Parametrisierung der W\u00e4rmekapazit\u00e4t neu berechnet<\/u><\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Demzufolge handelt es sich bei der Venus keineswegs um einen „Runaway Treibhauseffekt“, die hohe Oberfl\u00e4chentemperatur hat ihre Ursache ich der sehr viel dickeren Atmosph\u00e4re als der der Erde, nur zu einem geringen Teil infolge der reinen CO\"_2\"-Atmosph\u00e4re.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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